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黑龙江省哈尔滨市第一中学2022届高三数学(理)上学期期末考试试题(附答案)

2022-01-041 9.99元 10页 1.79 MB
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哈尔滨市第一中学校2021-2022学年度上学期期末考试高三数学(理)试卷考试时间:120分钟分值:150分第Ⅰ卷选择题(60分)一、选择题:(本题共12小题,共60分,只有一项符合题目要求,每小题5分)1.已知集合,,则等于()A.B.C.D.2.已知命题,则是()A.B.C.D.3.“”是“”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.一些二次曲面常常用于现代建筑的设计中,常用的二次曲面有球面?椭球面?单叶双曲面和双曲抛物面?比如,中心在原点的椭球面的方程为,中国国家大剧院就用到了椭球面的形状(如图),若某建筑准备采用半椭球面设计(如图),半椭球面方程为,该建筑设计图纸的比例(长度比)为(单位:),则该建筑的占地面积为() A.B.C.D.5.已知向量,,则下列说法错误的是()A.若,则的值为B.的最小值为1C.若,则的值为2D.若与的夹角为钝角,则的取值范围是且6.如果函数的图象关于点对称,那么的最小值为()A.B.C.D.7.如图是正方体的平面展开图,在这个正方体中,正确的命题是A.AB与CF成60°角B.BD与EF成60°角C.AB与CD成60°D.AB与EF成60°角8.已知数列满足,则()A.B.C.D. 9.在的二项展开式中含项的系数为()A.B.C.D.10.函数的图象可能是()A.B.C.D.11.已知,则()A.B.C.D.12.函数对任意都有成立,且函数的图象关于点对称,,则()A.1B.2C.3D.4第Ⅱ卷非选择题(90分)二、填空题(共20分,每题5分,请把答案写到答题卡的相应位置。)13.已知函数的图象恒过点,若点在角的终边上,则____________.14.已知函数,若函数在上单调递增,则实数的取值范围是____________. 15.若等差数列满足,,则当___时,的前项和最大.16.半正多面体(semiregularsolid)亦称“阿基米德多面体”,是由边数不全相同的正多边形围成的多面体,体现了数学的对称美.二十四等边体就是一种半正多面体,是由正方体切截而成的,它由八个正三角形和六个正方形构成(如图所示),若它的所有棱长都为,则正确的是①⊥平面②该二十四等边体的体积为③该二十四等边体外接球的表面积为8π④与平面所成角的正弦值为三、解答题(本题共6小题,共70分,17-21每题12分,22题10分)17.(本小题满分12分)已知的内角所对的边分别是,,(1)若,求;(2)求的最大值,以及此时的内角.18.(本小题满分12分)设数列的前项和为,且满足,是公差不为0的等差数列,,是与的等比中项.(1)求数列和的通项公式; (2)对任意的正整数,设,求数列的前项和.19.(本小题满分12分)在核酸检测中,“合1”混采核酸检测是指:先将个人的样本混合在一起进行1次检测,如果这个人都没有感染新冠病毒,则检测结果为阴性,得到每人的检测结果都为阴性,检测结束:如果这个人中有人感染新冠病毒,则检测结果为阳性,此时需对每人再进行1次检测,得到每人的检测结果,检测结束.现对100人进行核酸检测,假设其中只有2人感染新冠病毒,并假设每次检测结果准确(I)将这100人随机平均分成10组,每组10人,且对每组都采用“10合1”混采核酸检测.如果感染新冠病毒的2人在同一组,求检测的总次数;(II)将这100人随机平均分成20组,每组5人,且对每组都采用“5合1”混采核酸检测.试求两名感染者在同一组的概率20.(本小题满分12分)木工技艺是我国传统文化瑰宝之一,体现了劳动人民的无穷智慧.很多古代建筑和家具保存到现代依然牢固,这其中,有连接加固功能的“楔子”发挥了重要作用.如图,楔子状五面体的底面为一个矩形,,,平面,棱,设,分别是,的中点.(1)证明:,,,四点共面,且平面平面;(2)若二面角的大小为,求直线与平面所成角的正弦值.21.(本小题满分12分)已知函数. (1)若曲线在处的切线经过点,求.(2)已知,证明:当时,.22.(本小题满分10分)以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为,直线的极坐标方程为(1)求和的直角坐标方程;(2)求上的点到距离的最小值.高三数学(理)试卷答案一、选择题:题号123456789101112答案ACADAACDCBDD二、填空题:13.14.15.816.②③④三、解答题17.(1),在中,由正弦定理得:,由余弦定理得:,而,则,因,利用正弦定理得:,而,即角B为锐角,因此,,所以;(2)由(1)知,在中,,由正弦定理得:,则, 而,则,于是得当时,取得最大值,此时,所以的最大值是,此时.18.19.【答案】(1)①次;(1)①对每组进行检测,需要10次;再对结果为阳性的组每个人进行检测,需要10次;所以总检测次数为20次;(2)由题意,两名感染者在同一组的概率为,20.(1)因为平面,且平面, 又因为平面平面,所以,又由,是矩形两边,的中点,所以,,所以,,,四点共面,因为,所以,又因为,而平面,平面,且,所以平面,又平面,所以平面平面.(2)在平面内过作于,平面由(1)知平面平面,平面平面,所以平面,又因为,,则二面角的平面角为,所以,在直角和直角中,,且,所以,过作边的垂线交,于点,,以为坐标原点,建立如图所示的坐标系,则,,,,所以,,,设平面的一个法向量,则,得,取法向量,设直线与平面所成的角为,则,所以直线与平面所成角的正弦值. 21.(1)因为,所以曲线在处的切线斜率为,又,所以,整理得,即.(2)证明:设函数,则,设函数,则.显然在为增函数因为,所以,所以对恒成立,则在上单调递增,从而.因为,所以,则,从而对恒成立,则在上单调递增,所以,从而.22.(1)由,,得可化为,所以的直角坐标方程为.可化为,所以的直角坐标方程为. (2)曲线的参数方程为(为参数),设上点的坐标为则上的点到直线的距离,当时,取得最小值,且.
黑龙江省哈尔滨市第一中学2022届高三数学(理)上学期期末考试试题(附答案)