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高中数学不等式证明专题讲解

2021-10-291 9.99元 8页 162.56 KB
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高中数学不等式证明专题讲解例1若,证明(且).分析1用作差法来证明.需分为和两种情况,去掉绝对值符号,然后比较法证明.解法1(1)当时,因为,所以.(2)当时,因为所以.综合(1)(2)知.分析2直接作差,然后用对数的性质来去绝对值符号.解法2作差比较法.因为,所以.例2设,求证:证明:∵,∴∴.∴又∵,∴. 例3对于任意实数、,求证(当且仅当时取等号)证明:∵(当且仅当时取等号)两边同加,即:(1)又:∵(当且仅当时取等号)两边同加∴∴(2)由(1)和(2)可得(当且仅当时取等号).例4已知、、,,求证证明:∵∴∵,同理:,。∴例5已知,求证:>0.证明一:(分析法书写过程)为了证明>0只需要证明>∵∴ ∴>0∴>成立∴>0成立证明二:(综合法书写过程)∵∴∴>>0∴>成立∴>0成立例6若,且,求证:证明:为要证只需证,即证,也就是,即证,即证,∵,∴,故即有,又由可得成立,∴所求不等式成立.例7若,求证.证法一:假设,则,而,故.∴.从而,∴.∴.∴.这与假设矛盾,故.证法二:假设,则,故,即,即,这不可能.从而. 证法三:假设,则.由,得,故.又,∴.∴,即.这不可能,故.例8设、为正数,求证.分析:用综合法证明比较困难,可试用分析法.证明:要证,只需证,即证,化简得,.∵,∴.∴.∴原不等式成立.例9已知,求证.证明:从条件看,可用三角代换,但需要引入半径参数.∵,∴可设,,其中.∴.由,故.而,,故.例10设是正整数,求证.分析:要求一个项分式的范围,它的和又求不出来,可以采用“化整为零”的方法,观察每一项的范围,再求整体的范围.证明:由,得. 当时,;当时,……当时,.∴.例11已知,求证:.证明:欲证,只须证.即要证,即要证.即要证,即要证.即要证,即.即要证   (*)∵,∴(*)显然成立,故例12如果,,,求证:.证明:∵     . ∴.例13已知,,,求证:在三数中,不可能都大于.证明:假设三数都大于,即,,.又∵,,,∴,,.∴   ①又∵,,.以上三式相加,即得:  ②显然①与②相矛盾,假设不成立,故命题获证.例14已知、、都是正数,求证:.证法一:要证,只需证,即,移项,得.由、、为正数,得.∴原不等式成立.证法二:∵、、为正数,.即,故., .说明:题中给出的,,,,只因为、、都是正数,形式同算术平均数与几何平均数定理一样,不加分析就用算术平均数与几何平均数定理来求证,问题就不好解决了.例15已知,,且.求证:.证明:令,,且,则∵,∴,即成立.例16已知是不等于1的正数,是正整数,求证.证明:∵是不等于1的正数,∴,∴.①又.②将式①,②两边分别相乘得,∴.例17已知,,,,且,求证.证明:要证,只需证,只需证.∵,,,∴,,,∴,∴成立.∴. 例18求证.证明:∵,∴.例19在中,角、、的对边分别为,,,若,求证.分析:因为涉及到三角形的边角关系,故可用正弦定理或余弦定理进行边角的转化.证明:∵,∴.由余弦定理得∴,∴=
高中数学不等式证明专题讲解