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2020年四川省高考数学试卷(理科)(新课标Ⅲ)

2021-10-231 9.99元 10页 92.90 KB
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2020年四川省高考数学试卷(理科)(新课标Ⅲ)一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。)1.已知集合??????????,?????????,则中元素的个数为()A.B.C.D.2.复数的虚部是()香A.香B.香C.D.3.在一组样本数据中,,,,出现的频率分别为,,,,且?=,则下面四种情形中,对应样本的标准差最大的一组是()A.==?,==?B.==?,==?C.==?,==?D.==?,==?4.???模型是常用数学模型之一,可应用于流行病学领域.有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数???(?的单位:天)的???模型:????,其中为最大确诊病例数.当???=?歏时,标志着已初步遏制疫情,香???香歏?则?约为???ln?A.B.C.D.5.设为坐标原点,直线?=与抛物线=????交于,两点,若,则的焦点坐标为()A.???B.???C.???D.???6.已知向量,满足=歏,=,?香,则cos,????A.香B.香C.D.歏歏歏歏7.在中,cos?,=,=,则cos=()A.B.C.D.试卷第1页,总10页 8.如图为某几何体的三视图,则该几何体的表面积是()A.B.C.D.9.已知tan香tan??=,则tan=()A.香B.香C.D.10.若直线与曲线??和圆??都相切,则的方程为()歏A.=?B.=?C.??D.???11.设双曲线香??????的左、右焦点分别为,,离心率为歏.是上一点,且.若的面积为,则=()A.B.C.D.?12.已知歏歏?,?歏.设=log,=log歏,?=log?,则()歏?A.?B.?C.?D.?二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。)??13.若?,满足约束条件?香?则=?的最大值为________.??14.???的展开式中常数项是________(用数字作答).?15.已知圆锥的底面半径为,母线长为,则该圆锥内半径最大的球的体积为________.16.关于函数???=sin?有如下四个命题:sin?①???的图象关于轴对称.②???的图象关于原点对称.③???的图象关于直线??对称.④???的最小值为.其中所有真命题的序号是________.试卷第2页,总10页 三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题,考生根据要求作答。(一)必考题:共60分。)17.设数列?满足=,=香.(1)计算,,猜想?的通项公式并加以证明;(2)求数列?的前项和.18.某学生兴趣小组随机调查了某市天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次,整理数据得到下表(单位:天):锻炼人次?????空气质量等级(优)歏(良)歏(轻度污染)?(中度污染)(1)分别估计该市一天的空气质量等级为,,,的概率;(2)求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表);(3)若某天的空气质量等级为或,则称这天“空气质量好”;若某天的空气质量等级为或,则称这天“空气质量不好”.根据所给数据,完成下面的列联表,并根据列联表,判断是否有歏的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关?人次人次?空气质量好空气质量不好??香??附:????????????????歏?????歏???试卷第3页,总10页 19.如图,在长方体香中,点,分别在棱,上,且=,=.(1)证明:点在平面内;(2)若=,=,=,求二面角香香的正弦值.?歏20.已知椭圆??歏?的离心率为,,分别为的左、右顶点.歏(1)求的方程;(2)若点在上,点在直线?=上,且=,,求的面积.21.设函数???=???,曲线=???在点(???)处的切线与轴垂直.(1)求;(2)若???有一个绝对值不大于的零点,证明:???所有零点的绝对值都不大于.(二)选考题:共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做,则按所做的第一题计分。[选修4-4:坐标系与参数方程](10分))??香?香??22.在直角坐标系?中,曲线的参数方程为??为参数且??,?香??与坐标轴交于,两点.(1)求;(2)以坐标原点为极点,?轴正半轴为极轴建立极坐标系,求直线的极坐标方程.[选修4-5:不等式选讲](10分))23.设,,?,?=,?=.(1)证明:??;(2)用max????表示,,?的最大值,证明:max????.试卷第4页,总10页 参考答案与试题解析2020年四川省高考数学试卷(理科)(新课标Ⅲ)一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.C2.D3.B4.C5.B法二:易知,∠ODE=45°,可得D(2,2),代入抛物线方程y=2px,可得4=4p,解得p=1,6.D7.A8.C9.D10.D11.A12.A二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.14.15.16.②③三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题,考生根据要求作答。(一)必考题:共60分。17.法一:数列?满足=,=香,则=香=歏,=香=,…,猜想?的通项公式为=.证明如下:??当=,,时,显然成立,??假设=时,=??成立,当=时,=香=??香==??,故=时成立,由????知,=,猜想成立,所以?的通项公式=.法二:数列?满足=,=香,则=香=歏,=香=,…,猜想?的通项公式为=.试卷第5页,总10页 证明:设??=??,可得=香,?香?香∴,解得,香??香∴香??香=?香香?,(不能说明?香香是等比数列)∵=,香香=,并且香??香=,所以=恒成立.所以=.令==??,则数列?的前项和=歏?????,…①两边同乘得,=歏?????,…②①-②得,香=???香????香香?=香??,香所以=?香?.歏18.该市一天的空气质量等级为的概率为:?;歏该市一天的空气质量等级为的概率为:?;?该市一天的空气质量等级为的概率为:?;该市一天的空气质量等级为的概率为:?;由题意可得:一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值为:????歏歏?歏=歏;根据所给数据,可得下面的列联表,人人总次次计?空气质量好空?气质量不好总歏歏歏计??香????香?由表中数据可得:??歏?????,????????????歏歏歏所以有歏的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关.19.证明:在上取点,使得=,连接,,,,在长方体香中,有,且==.试卷第6页,总10页 又=,=,=,∴==.∴四边形和四边形都是平行四边形.∴,且=,,且=.又在长方体香中,有,且=,∴且=,则四边形为平行四边形,∴,且=,又,且=,∴,且=,则四边形为平行四边形,∴点在平面内;在长方体香中,以为坐标原点,分别以,,所在直线为?,,轴建立空间直角坐标系.∵=,=,=,=,=,∴????,????,????,????,则??香??香?,???香?香?,???香??.设平面的一个法向量为??????.?香?香?则,取?=,得????香?;?香香?设平面的一个法向量为??????.?香?香?则,取?=,得?????.?香?香∴cos?????.设二面角香香为,则sin?香?.∴二面角香香的正弦值为.试卷第7页,总10页 ?歏歏20.由?得=香,即?香,∴?,歏?故的方程是:?;歏歏代数方法:由(1)?香歏??,设????,点???,根据对称性,只需考虑?的情况,歏此时香歏歏,?,∵=,∴有?香歏??=①,又∵,∴香歏?=②,?又?③,歏歏??香联立①②③得??或??,????当??时,则???,???,而?香歏??,?则(法一)?????,????,歏∴?香????香?,?香歏同理可得当??时,?,??歏综上,的面积是.法二:∵???,???,∴直线的方程为:?香=,歏∴点到直线?香=的距离??,而?,歏歏∴??.数形结合方法:如图示:试卷第8页,总10页 ①当点在轴左侧时,过点作,直线?=和?轴交于???点,易知,∴==,?故=时,歏?,解得:?=,(?=舍),歏故?香??,易得=?,=?,歏故=香香香???香香?歏?香???,②当点在轴右侧时,同理可得?=,即???,=,=,歏故?,歏综上,的面积是.21.由???=???,得????=?,∴???=???,即?香;证明:设?为???的一个零点,根据题意,?????香???,且?,则??香??,由?,令?????香???香??,∴??????香??香?????香?,当??香?香????时,?????,当??香??时,??????可知????在?香?香?,???上单调递减,在?香??上单调递增.又??香??,????香,??香??香,????,∴香?.设?为???的零点,则必有?????香???,即香??香??,试卷第9页,总10页 ?香?香???香????∴,得香?,?香???????香?即?.∴???所有零点的绝对值都不大于.(二)选考题:共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做,则按所做的第一题计分。[选修4-4:坐标系与参数方程](10分)22.当?=时,可得?=香(舍去),代入=香??,可得==,当=时,可得?=(舍去),代入?=香?香?,可得?=香香=香,所以曲线与坐标轴的交点为?香??,???,则??香??;由(1)可得直线过点???,?香??,?可得的方程为香?,即为?香=,由?=cos,=sin,可得直线的极坐标方程为cos香sin=.[选修4-5:不等式选讲](10分)23.∵?=,∴???=,∴???=,∴??=香???,∵?=,∴,,?均不为,∴??=香???,∴??;不妨设?,则??,?∵?=,∴香香=?,而香香????,与假设矛盾,故max????.试卷第10页,总10页
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